Um número é chamado de quadrado perfeito  quando, ao dividir um quadrado, formamos quadrados menores. 

Exemplos:

Se dividir um quadrado em três partes temos 

.                                               Ao observarmos a imagem vemos que o quadrado foi dividido em três retângulos, ou seja, três não é um quadrado perfeito. Agora vamos ver o que acontece se dividirmos o quadrado em quatro partes 

         Agora vemos que o quatro é um quadrado perfeito pois, quando dividimos o quadrado por quatro formamos quatro quadrados menores. 

         E o que acontece quando dividimos o número por 8

Vemos que foram formados 8 triângulos retângulos, isso quer dizer que o 8 não é um quadrado perfeito. Isso acontece pelo fato de não existir nenhum número que ao ser multiplicado por ele mesmo termina em 8 o mesmo acontece com todos os números terminados em 2, 3,7 e 8.

Outra curiosidade é que, se somarmos, a partir do zero, as potências de dois pelos ímpares consecutivos teremos sempre outro número quadrado perfeito 

0+1=1

1+3=4

4+5=9 e,se seguirmos esse raciocínio indefinidamente, sempre teremos como resultados, uma potência de 2.

 E agora, como saber se um número com mais de 4 algarismos é ou não um quadrado perfeito? 

Vamos utilizar o seguinte método 

Será que o número 7489 é um quadrado perfeito? Vamos ignorar os dois últimos algarismos do número, no caso o 89 e vamos encontrar os dois resultados de uma potência de 2 anterior e posterior ao número 74

 Esses números são o 64 (8•8) e 81(9•9)

Colocamos o 0 diante dos resultados dessas raízes formando então os números 80 e 90

Agora vamos procurar, nesse intervalo, os dois números que multiplicados por eles mesmos terminam em 9 (7489)

Se o nosso número for o resultado de uma potência de dois (número quadrado perfeito) eu vou descobrir multiplicando os dois números desse intervalo que são o 83 ou o 87

83 •83= 6889 e 87•87= 7569 isso quer dizer que o número 7489 não é um quadrado perfeito. Agora vamos ver se o número 11.236 é um quadrado perfeito 

Fazemos o mesmo procedimento 

Ignoramos os dois últimos algarismos (36) e achamos os dois resultados de uma potência de 2 anterior e posterior ao número 112

No caso os números 100 (10•10) ou 121(11•11)

Então,se o número 11.236 for quadrado perfeito terá como raiz os números 104 ou 106 pois são os únicos números do intervalo citados acima que terminam em 6. 

104 • 104= 10.816 e 106 •106 = 11.236 sendo assim, o número 11.236 é um quadrado perfeito ( resultado de uma potência de 2)